Propriedades dos logaritimos

     Os cálculos com alguns logaritimos são muitos simples  podem ser feitos mentalmente:
Exemplos:

a) Log2 x = 3   ->    23 = x    -> x = 8

b) Log5 25 = x -> 5x = 52  -> x = 2

       No entanto, há outros cálculos que são menos imediatos. Para realiza-los, podemos ultilizar algumas propiedades decorrentes da definição de logaritimo.

          Sejam a, b e c números positivos, com a ≠ 1, e m um número real:

1º Loga 1 = 0, pois a0 = 1

2º Loga am = m, pois am = am

3º alogab = b, pois fazendo loga b = x, temos ax = b

4º Loga b = logz c ↔ b = c

            Aplicando a definição de logaritimo e a propriedade 3º em loga b = loga c, temos: b = alogab = c, então, b = c.

Exemplos:

a) Log5 1 = 0; log2 1 = 0; log6 1 = 0; logπ 1 = 0

b) Log2 1024 = log2 210 = 10

Logarítmo

     Vamos voltar ao problemado último Flash matemático, do assunto passado sobre uma planta que inicialmente media 1 cm e cuja altura dobrava a cada mês.

     Com o que aprendemos no assunto de função exponencial, podemos saber a altura da planta em cada momento. No entanto, queremos propor a seguinte questão: Após quanto tempo a planta terá 9 cm de altura?

      Retomemos a tabela e o gráfico da função exponencial correspondente:

      Observamos que responder à questão proposta significa resolver a equação exponencial 2^x = 9 cm. 

       Já resolvemos equações exponenciais anteriormente, como por exemplo 2^x = 8. Em quase todas elas, usávamos recursos para a resolução que tranformavam cada lado da igualdade em potências de mesma base, depois, então, "igualávamos" os exponentes. Mas em 2^x = 9 parece não ser possível fazer isso.

       Observando o gráfico, vemos vemos que x é um número que está entre 3 e 4, mas não sabemos exatamente o seu valor.

      Como vimos no Flash matemático "Um pouco de uma grande história" do assunto anterior, é possível consultar o que chamamos de tábua de logaritimos para encontrar o valor de x. Poderíamos ainda ultilizar uma calculadora científica para isso.

       O valor de x que resolve o problema proposto é o logarítimo de 9 na base 2, que indicamos assim:

                                   X = log2 9 = 3, 169...          X ≅ 3, 169

       Mas 3, 169 meses significa 3 meses e 0, 169 de um mês = 3 meses e 0, 169 de 30 dias ≅ 3 meses e 5 dias. Isso significa que um pouco depois de três meses e 5 dias a planta deve alcançar a altura de 9 cm.

           No entanto, esse calculo não é assim tão simples, pois as tábuas de logarítimos e as suas calculadoras não usam a base 2. Em geral, é usada a base 10.

              Por isso, precisamos estudar o modo mais aprofundado os logaritimos para, ao final desse assunto, compreendemos como calcular o valor de Log₂ 9 e muitos outros.

             Observe que:

3^x = 81                3^x = 3⁴             x = 4

podemos dizer que 4 é o logaritimosde 81 na base 3.

 

Podemos dizer que -3 é o logaritimo de na base 5

•  

 Podemos dizer que 1 é o logaritimo de 2 na base 8.
                              3


De modo geral:

       Logaritimo de um número positivo b numa base a, a > 0 e a ≠ 1, é o expoente da potência à qual se deve elevar a para se obter b.

                                    Se b > 0, a > 0 e a ≠ 1, então loga b = x ↔ ax = b.

Na igualdade loga b = x: 

• a é a base do logaritimo
• b é o logaritimado 
• x é o logarítimo de b na base a.

Exemplos:

a) Log5 625 = 4, pois 54 = 625

b) Log10 0,01 = 2, pois 10-2 = 1/100 = 0,01

c) Log3 1 = 0, pois 30 = 1

d) Log7 7 = 1; log7 72 = 2; log7 7n = n, para todo n ∈ R

        

            As restrinções impostas à base do logaritimo (a > 0 e a ≠ 1) provêm das condições sobre a função exponencial e garantem que o logaritimo exista e seja único.

            A restrinção b > 0 é porque ax > 0 para todo valor de x ∈ R. Dessa forma, temos também uma condição de existência para o logaritimado, que é b > 0.