Sistemas Parte 2

     Bom como eu tinha falado na postagem passada que, você com certeza já leu, eu vou falar como eu fiz aquele sistema e de quantas formas nós podemos calculá-la. Existem 3 formas conhecidas, a formas da substituição, a forma da adição e da forma da comparação. Mas o modo da comparação não é muito aconselhável a fazer. Primeiro iremos aprenader com o método da substituição. 

{x + y = 40                                                  Obs: As chaves são uma só {

{2x + 4y = 100

     Então vamos primeiro isolar uma icógnita. De preferência a icógnita sem números. Assim:

y = -x + 40

     

     Agora com a afirmação acima que -x +40 vamos substituir o que tem x colocar -y + 40. Observe:

2x + 4(-x + 40) = 100

     Agora iremos fazer a equação:

2x + 4(-x + 40) = 100

2x -4x + 160 = 100

2x -4x = -160 + 100
-2x = -30 (-1)
2x = 30
x = _30_
         2
x = 15
     Bom. Achamos o valor de x mas agora iremos achar o valor de y nessa maneira:
y = -x + 40
y = -10 + 40
y = 30
      Achamos os dois valores pelo metodo da substituição, o de x = 10 e o de y = 30.

      

Sistemas

     Muitos problemas do dia-a-dia podem ser escritos em linguagem matemática e então resolvidos. Primeiramente traduzimos o problema em linguagem matemática. Dessa maneira, construímos um modelo matemático que represente matematicamente a situação real. Em seguida, resolvemos o modelo e então estudamos o que a solução representa no problema original.  

     

     Um sítio contém somente dois tipos de animais: galinhas e carneiros.

No total há 40 animais. Entretanto, o Sr. Tomás, dono do sítio, afirma que o total de patas e pés dos animais é 100. Vamos utilizar essas informações para tentar descobrir quantas galinhas e quantos carneiros há ali.

      Vamos comerçar tradulzindo esse problema em linguagem matemática. Para isso colocamos:

X = quantidade de galinhas

Y = quantidade de carneiros

Como o total de animais é 40, e só há galinhas e carneiros, então devemos ter:

Quantidades de galinhas  mais  quantidades de caneiros  é  igual  a  40

                 X                  +                      Y                    =         40

      Dessa forma, obtemos a relação x + y = 40. Por outro lado, há afirmação do Sr. Tomás, de que o total de patas e pés dos animais é 100

      Quantidade de galinhas ------------------------------------------------------------- Número total de pés das galinhas

                     x                          Cada galinha tem dois pés, e há x galinhas                                  2x

De forma semelhante

      Quantidade de carneiros -------------------------------------------------------Número total de patas dos carneiros

                     x                   Cada caneiro tem quatro patas, e há y carneiros                         4y

      Pela afirmação do Sr. Tomás, há um total de 100 patas e pés de animais. Dessa froma, devemos ter:

      Números dos pés das galinhas  mais  números dos pés dos carneiros   é igual a  100

                    2x                             +                      4y                               =       100

       Obtemos assim a relação 2x + 4y = 100. Juntando essa relação com aquela obtida anteriormente, temos:

{x + y = 40                 Obs: As chaves são uma só {

{ 2x + 4y = 100

       Existem muitos valores que satisfazem a primeira equação. Eles são os números inteiros x e y, cuja a soma é 40 (por exemplo, 2 e 38 10 e 30 etc...).

       Vamos agora resolver:      

{x + y = 40

{2x + 4y = 100 

 x + y = 40

y = 40 - x

2x + 4y = 100

2x + 4(40 - x) = 100

2x + 160 - 4x = 100

-2x = -60

x = 30

Agora acharemos o valor de y:

Y = 40 - x

Y = 40 - 30

Y = 10.

Assim concluímos que o Sr. Tomás tem 30 galinhas e 10 carneiros.

Na proxima postagem eu explicarei como eu fiz o calculo e as outras formas de fazer.

Equações e fatoração

Observe a equação:

                                    x² + 2x = 0
Vamos olhar mais perto cada um dos termos do polinômio x² + 2x = x . x + 2x

Eles têm o fator x em comum. Dessa forma, podemos escrever:

x² + 2x = x . x + 2x                                           X é um fator comum aos dois termos do polinômio
             = x(x + 2)                                             o fator comum foi "colocado em evidência" 

O que fizemos foi reescrever o polinômio como um produto, colocando o fator comum x em evidência. Dizemos que x(x + 2) é a forma fatorada de x² + 2x.

                                 x² + 2x = 0
                                         fatoração
                              x(x + 2) = 0

Como termos um produto de fatores, para que x(x + 2) = 0, devemos ter x = 0 ou x + 2 = 0. Isso significa que x = 0 ou x = -2. Essas são as soluções da equação x² + 2x = 0.

Vamos descobrir as soluções da equação:

5(x - 3) (x + 2) (1 - x) = 0

Nesse caso, temos um produto de fatores igualados a 0. Vamos tentar descubrir os valores de x que fazem com que os fatores sejam iguais a zero:

O fator 5                  5 é um fator, e não há como fazer 5 = 0.

O fator (x - 3)             Se colocamos x = 3, obtemos x - 3 = 0.

O fator (x + 2)            Se colocamos x = - 2, obtemos x + 2 = 0.

O fator (1 - x)             Se colocamos x = 1, obtemos 1 - x = 0.


                                           5(3 - 3) (3 + 2) (1 - 3) = 5 . 0 . 5 . (-2) = 0

Da mesma forma podemos verificar com -2 e 1.


A fatoração ainda é últil para fazermos operaões com polinômios, em geral. Por exemplo, vamos efetuar a divisão:

                                             _6x³y + 9x²y² - 15xy³_ =
                                                            3xy
                                        
                                            = __3xy(2x² + 3xy - 5y²)__
                                                              3xy
                                          
                                            = 2x² + 3xy - 5y²