Resolvendo sistemas de equações de 2º grau.

veja os exemplos a seguir:

1 constuí um retângulo dobrando um arame com 6 metros de comprimento. Esse retângulo ficou com uma área de 2m². Quais são as dimensões do retângulo formado com o pedaço de arame?

Se rerepresentamos por x e por y as dimensões do retângulo, podemos escrever:

Então formamos o sistema:
{x + y = 3
{xy = 2                                  Obs: as chaves são uma só {

Esse sistema é de segundo grau, pois uma das equações é de segundo grau.
Para resolvê-lo, usamos o método da substituição.
Da primeira equação, temos:
x + y = 3
x = 3 - y

Substituímos x pelo seu valor 3 - y na segunda equação, temos:
xy = 2
(3 - y)y = 2
-y² + 3y = 2
-y² + 3y + 2 = 0
y² - 3y + 2 = 0

a = 1                               b = -3                                         c = 2

b² - 4ac = (-3)² - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1

-(-3)+-√1=

    2(1) 

y' = 3 + 1 = 4 = 2

         2        2

y" = 3 - 1 = 2 = 1

          2       2

     Determinamos, assim, os valores para a icógnita y. Como x = 3 - y, vamos determinar os valores da icógnita x.

     Quando y = 2, então x = 3 - 2 = 1

     Quando y = 1, então x = 3 - 1 = 2

     Logo, temos como solução do sistema os pares ordenados (1, 2) e (2, 1).

     Então, S = {(1, 2), (2, 1)}.

     Assim, as dimenções do retângulo feito quando se dobrou o pedaço de arame são 1 m e 2 m

Problemas envolvendo funções quadráticas

     Muitos problemas do dia-a-dia não podem ser descritos por funções lineares, isto é, aquelas cujo gráfico é uma reta. por essa razão, precisamos ultilizar outros tipos de funções para estuda-los. Uma das maneiras de se fazer isso é atravéz das funções quadráticas. Uma função quadrática se ecreve assim:

                                                                        y = ax² + bx + c,

onde a, b e c são números, sendo que a é diferente de zero. As funções y = 2x² + 7x - 12 e y = - 0,5 + 2,5 - x² são exemplos de funções quadráticas. Aqui vamos ultilizar-las para descrever e revolver diversas questões quotidianas.

Situação 1

     Vamos iniciar vendo como as funções quadráticas podem nos ajudar a resolver problemas com números. Imagine que a soma de dois números seja 10. Vamos tentar determinar que números são esse, de modo que seu produto de x e o segundo de y. Então temos:

               x + y = 10

     Isolando y nessa igualdade, obtemos y = 10 - x. Dessa forma, o produto P desses dois números podem ser escrito como:

                                      P = xy

                                         = x ( 10 - x )

                                         = 10x - x²

     Podemos, então, estudar o comportamento da função quadrática P = 10x - x² por meio de seu gráfico. Vamos, agora, traçar esse gráfico:

      Pelo gráfico observamos, que o mairo produto será P = 25. Isso ocorrerá quando x = 5. Dessa forma podemos determinar o valor do outro número y:

                                                    y = 10 - x

                                                       = 10 - 5                        Substituímos o valor de x = 5.

                                                       = 5

     Por tamto os dois números positivos x e y, cuja a soma é 10, tendo o maior produto possível, são x = 5 e y = 5.

     O gráfico de uma função quaddrática y = ax² + bx + c é chamada de parábola.O sinal do número a determina sa a parábola se abre para cima e para baixo. Quando a é negativo, a parábola se abre para baixo. Se a é positivo a parábola se se abre para cima, como mostram as figuras acima.

     Chamamos de vértice o ponto mais alto da parábola que se abre para baixo, como mostra a figura azul. De maneira igual, quando também de vértice o ponto mais alto da parábola que se abre para cima, como mostra a figura em laranja. Vale a seguinte propierdade:

                 O vértice do gráfico da função quadrática

y = ax² + bx + c ocorre quando x = -b

                                                      2a

     Na função quadrática P = 10x - x², que vimos na Situação 1, temos a = -1 e b = 10. Dessa forma, o vértice daquela parábola ocorre quando:

               x = -b

                    2a

                            =    -10       

                                2 . (-1)

                 = 5,

que é o valor de x que já haviamos obitido antes.

     As funções nos ajudam a dar uma descrinção aproximada do circlo da vida comercial de um novo produto lançado no mercado. Podemos pensar que sabonetes, filmes, livros e eletrodomesticos, todos passam por alguns períodos caracteristicos na sua vida comercial.