Resolvendo sistemas de equações de 2º grau.

veja os exemplos a seguir:

1 constuí um retângulo dobrando um arame com 6 metros de comprimento. Esse retângulo ficou com uma área de 2m². Quais são as dimensões do retângulo formado com o pedaço de arame?

Se rerepresentamos por x e por y as dimensões do retângulo, podemos escrever:

Então formamos o sistema:
{x + y = 3
{xy = 2                                  Obs: as chaves são uma só {

Esse sistema é de segundo grau, pois uma das equações é de segundo grau.
Para resolvê-lo, usamos o método da substituição.
Da primeira equação, temos:
x + y = 3
x = 3 - y

Substituímos x pelo seu valor 3 - y na segunda equação, temos:
xy = 2
(3 - y)y = 2
-y² + 3y = 2
-y² + 3y + 2 = 0
y² - 3y + 2 = 0

a = 1                               b = -3                                         c = 2

b² - 4ac = (-3)² - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1

-(-3)+-√1=

    2(1) 

y' = 3 + 1 = 4 = 2

         2        2

y" = 3 - 1 = 2 = 1

          2       2

     Determinamos, assim, os valores para a icógnita y. Como x = 3 - y, vamos determinar os valores da icógnita x.

     Quando y = 2, então x = 3 - 2 = 1

     Quando y = 1, então x = 3 - 1 = 2

     Logo, temos como solução do sistema os pares ordenados (1, 2) e (2, 1).

     Então, S = {(1, 2), (2, 1)}.

     Assim, as dimenções do retângulo feito quando se dobrou o pedaço de arame são 1 m e 2 m

Problemas envolvendo funções quadráticas

     Muitos problemas do dia-a-dia não podem ser descritos por funções lineares, isto é, aquelas cujo gráfico é uma reta. por essa razão, precisamos ultilizar outros tipos de funções para estuda-los. Uma das maneiras de se fazer isso é atravéz das funções quadráticas. Uma função quadrática se ecreve assim:

                                                                        y = ax² + bx + c,

onde a, b e c são números, sendo que a é diferente de zero. As funções y = 2x² + 7x - 12 e y = - 0,5 + 2,5 - x² são exemplos de funções quadráticas. Aqui vamos ultilizar-las para descrever e revolver diversas questões quotidianas.

Situação 1

     Vamos iniciar vendo como as funções quadráticas podem nos ajudar a resolver problemas com números. Imagine que a soma de dois números seja 10. Vamos tentar determinar que números são esse, de modo que seu produto de x e o segundo de y. Então temos:

               x + y = 10

     Isolando y nessa igualdade, obtemos y = 10 - x. Dessa forma, o produto P desses dois números podem ser escrito como:

                                      P = xy

                                         = x ( 10 - x )

                                         = 10x - x²

     Podemos, então, estudar o comportamento da função quadrática P = 10x - x² por meio de seu gráfico. Vamos, agora, traçar esse gráfico:

      Pelo gráfico observamos, que o mairo produto será P = 25. Isso ocorrerá quando x = 5. Dessa forma podemos determinar o valor do outro número y:

                                                    y = 10 - x

                                                       = 10 - 5                        Substituímos o valor de x = 5.

                                                       = 5

     Por tamto os dois números positivos x e y, cuja a soma é 10, tendo o maior produto possível, são x = 5 e y = 5.

     O gráfico de uma função quaddrática y = ax² + bx + c é chamada de parábola.O sinal do número a determina sa a parábola se abre para cima e para baixo. Quando a é negativo, a parábola se abre para baixo. Se a é positivo a parábola se se abre para cima, como mostram as figuras acima.

     Chamamos de vértice o ponto mais alto da parábola que se abre para baixo, como mostra a figura azul. De maneira igual, quando também de vértice o ponto mais alto da parábola que se abre para cima, como mostra a figura em laranja. Vale a seguinte propierdade:

                 O vértice do gráfico da função quadrática

y = ax² + bx + c ocorre quando x = -b

                                                      2a

     Na função quadrática P = 10x - x², que vimos na Situação 1, temos a = -1 e b = 10. Dessa forma, o vértice daquela parábola ocorre quando:

               x = -b

                    2a

                            =    -10       

                                2 . (-1)

                 = 5,

que é o valor de x que já haviamos obitido antes.

     As funções nos ajudam a dar uma descrinção aproximada do circlo da vida comercial de um novo produto lançado no mercado. Podemos pensar que sabonetes, filmes, livros e eletrodomesticos, todos passam por alguns períodos caracteristicos na sua vida comercial.

"Algebreiras" com equações de segundo grau

      Uma laranja é lançada para o alto verticalmente, a uma velocidade de 9,2 m/s (metros por segundo), de uma altura de 1,20 m.

     A ação da força da gravidade faz com que a laranja atinja umja certa altura e caia. A expressão abaixo dá a altura da laranja x segundos após ter sido lançada:

                                                          1,2 + 9,2x - 4,9x² = 0

     Para determinar o número de segundos que a laranja levará até se espatifar no chão, devemos resolver a equação:

                                                           1,2 + 9,2 - 4,9x² = 0

     Como resolver essa equação? Nas situações abaixo, e nas outras que comparecerão, vamos desenvolver métodos algébricos para que permitão resolver equações como essa.

Situação 1

     Vamos resolver a equação x² = 9. Para fazer isso, somamos - 9 a ambos os lados da igualdade, e reescrevemos a equação assim:

                                                          x² - 9 = 0

     Agimos dessa forma para usar a propriedade do produto notável, que estudamos nos anos anteriores.

     Com isso , podemos ecrever:

                x² - 9 = x² - 3²

                         = (x + 3) (x - 3)

     Como queremos x² - 9 = 0, devemos ter:

                         (x + 3) (x - 3) = 0

     Para que esse produto seja zero, devemos ter x + 3 = 0 ou x - 3 = 0. Isso significa que x = 3 ou x = - 3. Estas são as duas soluções da equação x² = 9. Vamos conferir:

     Substituindo x = 3 em x² = 9: / Substituindo x = 3 em x² -9:

                     3² - 9 = 9 - 9        / (-3) ² - 9 = 9 - 9

                             = 0               /                 = 0  

Obtemos 0 como resultado. Logo, 3 é a solução da equação x² - 9 = 0 

Estratégias para calcular "Radicais"

     É que, em muitos casos, não é possível extrair a raiz de um número, mas é possivel simplificá-lo. Aqui vamos desenvolver algumas estratégias para simplificar radicais, facilitando sua escrita e leitura. Preste atenção nas Situações a seguir:

Situação 1

     Uma das formas de simplificar um radical é procurando seu maior fator (divisor) que seja um quadrado perfeito. Para isso ultilizamos a primeira propriedade dos radicais. Observe como fazer para simplificar √60:

√60 =  √1 . √60

            √2 . √30

            √3 . √20

            √4 . √15   <= 4 é o fator de 60 que é o maior quadrado perfeito.

            √6 . √10

Dessa forma, como 4 é o maior fator de 60, que é um quadrado bperfeito, podemos escrever:

           _____

√60 = √4 . 15  

            _     __

=        √4 . √15   

               __

=         2√15

     Então para simplificar uma raiz quadrada contendo somente um valor numérico, seguimos os passos:

Passo 1: Escrevemos o valor numérico como um produto de dois fatores, dendo um deles o maior fator que é um quadrado perfeito.

Passo 2: Usamos a primeira propriedade dos radicais para escrever a expressão como um produto de raízes, cada um contendo um dos fatores.

Passo 3: Encontramos a raiz quadrada do fator que é o quadrado perfeito.

                                                                                         __ 

      Seguindo esses passos, podemos facilmente simplificar √48. Observe como fazemos:

  __      ____

√48 = √16 . 3

     __    __

= √16 . √3

      __

= 4√3

Situação 2

     Uma maneira__ de simplificar raízes quadradas é ultilizando a decomposisão em fatores primos. Dessa forma obtemos √60 = 

                        

                          _______        ___          

                        √2² . 3 . 5 = 2√15

Exercicios de Raíz enésima

a) √4                                             d)³√8

b) ³√5                                            e) ³√27

c) ²√2².2

Equações, Icógnitas, Funções e termos Variáveis

     As equações são muito importantes para se revolver questões que aparecem no dia-a-dia. Elas nos permitem descrever problema em "linguagem algébrica". O curioso é que podemos ultilizar o qeu aprendemos a respeito de funções e gráficos para resolver essas equações. A seguir, apareceram alguns exemplos descrevendo como fazer isso na prática.

Situação 1
     No ano passado, o faturamento de um hotel foi de R$ 150 000, 00. Isso representa R$ 10 000, 00 a mais do que o faturamento deste ano.
      Para determinar o faturamento deste ano, colocamos:
           x = faturamento deste ano.
Então, sabemos que:

Faturamento desse ano => x
Mais => +
10 000
é igual a => =
150 000

Para resulver a equação, fazemos o seguinte:
x + 10 000 = 150 000
x + 10 000 - 10 000 = 150 000 - 10 000
x = 140 000

Dessa forma, está previsto que o faturamento do hotel para este ano seja de R$ 140 000, 00

Situação 2       
     Márcio é empregado de uma empresa de construção. Ele ganha um valor fixo de R$ 10,00 por dia e mais R$ 3,00 de comição para cada metro quadrado de piso que colocar. Vamos determinar quaqntos metro quadrados de piso que ele precisa assentar para ganhar R$ 40,00 em um dia.

Para comerçar colocamos:
 x = metros quadrados de piso que Márcio precisa assentar em um dia.

Então,
 Ganho fixo => 10,00
mais => +
ganho por m² => 3,00
vezes => .
número de m² assentador => x
é igual => =
o ganho do dia => 40

Assim, temos a equação 10 + 3x = 40

     Essa equação pode ser facilmente resolvida, de onde obtemos x = 10. Mas observe que se colocamos y no lugar de 40, temos a expreção da função y = 3x + 10
     Vamos então traçar da função y = 3x + 10. Para isso, construímos uma tabela com valores de x, e os valores de y correspondentes.
    

Escrevendo uma equação de 2ª grau com uma icógnita na sua forma normal.

     Observe as seguintes equaçãoes de 2ª grau com uma icógnita:

x² - 5x + 6 = 0                   y² - 25 = 0                      -3t² + 4t - 1 = 0                -2x² +8x =0

     Essas equações estão escritas na forma ax² + bx + c = 0, o que é denominada forma normal ou forma reduzida de uma equação do 2º grau com uma icóginita.
     Há, porém, algumas equaçãoes de 2º grau que não estão escritas na forma ax² + bx + c = 0, como por exemplo:

3x² - 6x = x -3                                                                             _2_ - _1_ =_x__

                                                                                                     x       2      x - 4

     Por meio de transformações, mas quais aplicamos os princípios aditivos e multiplicativos, tais equações podem ser reduzidas a essa forma:

1. Dada a equação 2x² - 7x + 4 = 1 - x²

        2x² - 7x  + 4 = 1 - x²
        2x² - 7x + 4 - 1 + x² = 0
        3x² - 7x + 3 = 0

    2. Qual é a forma normal da equação (2x + 3)² = 10 - (x + 4)(x - 2)
        (2x + 3)² = 10 - (x + 4)(x - 2)
        4x² + 12x + 9 = 10 - (x² + 2x - 8)
        4x² + 12x + 9 = 10 - x² - 2x + 8
        4x² + 12x + 9 - 10 + x² + 2x - 8 = 0
        5x² + 14x - 9 = 0
 
 3. Escrever a equação _2_ - _1_ = __x__  , (com x diferente 0 e x diferente de 4) na sua forma normal.                x       2        x  - 4   

_2_ - _1_ = __x__
  x        2       x - 4

___4(x - 4) - x(x - 4)______ =    ___2x²____
             2x(x - 4)                        2x(x - 4)

4(x - 4) - x(x - 4) = 2x²
4x - 16 - x² + 4x = 2x²
4x - 16 - x² + 4x - 2x² = 0
- 3x² + 8x - 16 = 0